结论

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1. 若 x 是一个连续型随机变量，它的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $f_X(x)$，则$Y=F(x)\sim U(0,1)$
   • 若将一个连续型随机变量的分布函数作用在自己身上，则最终得到的会是一个在 [0,1] 区间上的均匀分布
   • 例如：X服从指数分布，其分布函数$F_X(x)=1-e^{-\lambda x},(x\ge 0)$ ，那么 $Y=F_X(X)=1-e^{-\lambda X}$ 服从均匀分布$U(0,1)$

为什么 $Y=F_X(X)$ 服从均匀分布？

对于任何连续型随机变量 (X)，如果其分布函数 (F_X) 是连续且严格单调递增的，那么 (Y = F_X(X)) 会服从在区间 ([0, 1]) 上的均匀分布。这是因为：

• 考虑 Y的累积分布函数：$P(Y\le y)=P(F_X(X)\le y)$。
• 由于 $F_X$是连续且严格递增的，它有反函数 $F_X^{-1}$，因此 $P(F_X(X)\le y)=P(X\le F_X^{-1}(y))$。
• 但 $P(X\le F_X^{-1}(y))=F_X(F_X^{-1}(y))=y$，所以$P(Y\le y)=y$，其中 $y\in [0,1]$。

这正好是均匀分布 $U(0,1)$的累积分布函数。因此，Y服从均匀分布。

直观理解

这个结果被称为“概率积分变换”（probability integral transform）。它意味着无论 X 的原始分布是什么（如正态分布、指数分布等），只要将其转换为自己的分布函数值，这些值就会均匀地分布在$[0,1]$ 区间上。这在统计模拟和假设检验中非常有用，例如用于生成随机数或进行分布拟合检验。

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freeway348

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